Решение 7 задач

Задача 1. Тема: «Нормальное распределение»

Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6. Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была а) более 60 у.е. за акцию; б) ниже 60 за акцию; в) выше 40 у.е. за акцию; г) между 40 и 50 у.е. за акцию.
Задача 2. Тема: «Критические точки» (работа с таблицами)

По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k) найти критическую точку (квантиль xγ), пользуясь соответствующими таблицами (приложение 1–4):
а) стандартного нормального распределения;
б) распределения «хи-квадрат»;
в) распределения Стьюдента;
г) распределения Фишера.
Нарисовать примерный вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности α = 1-γ , записать пояснения к рисунку.
а) γ = 0,98; б) γ = 0,975, k = 12; в) γ = 0,99, k = 10; г) γ = 0,99, k1 = 7, k2 =11.
Задача 3. Тема: «Интервальные оценки»

В 1995 г. выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому доходу показало, что 40 % обследованных в выборке имеют среднедушевой доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной совокупности, если объем генеральной совокупности составляет 1000000 единиц, выборка не превышает 10 % объема генеральной совокупности и осуществляется по методу случайного бесповторного отбора, а доверительная вероятность равна 0,954?
Задача 4. Тема: «Проверка статистических гипотез»

Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирмами. Для проверки была отобрана случайным образом группа из 400 детей, которые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты. Было выявлено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты?
Задача 5. Тема: «Критерий согласия Пирсона»

По результатам наблюдений определены частоты nj попадания случайной величины X в заданные интервалы [a j ; a j+1), j =1,2, ..., k . Рассчитать по данному статистическому ряду (таблица 5.1) оценки параметров и пользуясь формулами:


С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0.05 выяснить, можно ли считать случайную величину X нормально распределенной с параметрами x и s, рассчитанными по выборке.

Таблица 5.1 – Статистический ряд
[aj; aj+1) [3,5; 3,8) [3,8; 4,1) [4,1; 4,4) [4,4; 4,7) [4,7; 5,0) [5,0; 5,3)
nj 3 4 8 10 5 3

Задача 6. Тема: «Ранговая корреляция».

Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0,05.
Десять детей проранжированы по двум признакам: X — уровень владения речью, Y — кругозор (таблица 6.1).

Таблица 6.1 - Таблица рангов
Ранг X 2 3 8 1 4 7 9 10 6 5
Ранг Y 1 6 5 4 3 2 8 7 9 10